rainman's blog

学海无涯,回头是岸

页岩不等式

徐公集团荣誉出品,徐公徐公,祝您成功。

简介

页岩不等式( $Shale$ $Inequality$ ),又称“徐硕不等式”,避徐公讳,故称。由徐公首先提出并使用,成功的解决了一系列问题,获得广泛赞誉。

内容

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 对应的边长为 $a,b,c$ 。已知 $xa^2+yb^2+zc^2=p$ ,三角形面积为 $S$ ,则有:

$$\boxed{\color{Red}p\geqslant 4S\sqrt{xy+yz+zx}}$$

应用

以下题目均适合页岩不等式,展示一下秒解填空题的魅力:

例一

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 对应的边长为 $a,b,c,$ 若 $a^2+b^2+2c^2=8,$ 则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为?

例二

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 对应的边长为 $a,b,c$ 。若 $\angle B=\angle C$ ,且 $7a^2+b^2+c^2=4 \sqrt3$ ,则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为?

证明

思路一

建系,然后构造二次函数由不等式的传递性证明。

将 $\triangle ABC$ 置于平面直角坐标系中, $B(-\dfrac{a}{2},0),C(\dfrac{a}{2},0),$ 设点 $A(i,j).$

$$\because xa^2+yb^2+zc^2=p$$

$$\therefore xa^2+y((i-\dfrac{a}{2})^{2}+j^2)+z((i+\dfrac{a}{2})^2+j^2)=p$$

在徐公精神的指导下,经过艰苦卓绝的斗争,我们化简得到:

$$(i+\dfrac{a(z-y)}{z(y+z)})^2+j^2=\dfrac{p(y+z)-a^2(xy+yz+xz)}{(y+z)^2}$$

于是 $A$ 点的轨迹为圆,圆心为 $(-\dfrac{a(z-y)}{z(y+z)},0).$

由三角形的面积公式可知,当三角形的高为圆的半径时,面积取得最大值。

$$\therefore S\leqslant \dfrac{a}{2} \sqrt{\dfrac{p(y+z)-a^2(xy+yz+xz)}{(y+z)^2}}$$

$$\therefore 4S\sqrt{xy+yz+zx}\leqslant2a\sqrt{xy+yz+zx}\sqrt{\dfrac{p(y+z)-a^2(xy+yz+xz)}{(y+z)^2}}$$

我们只需要证明 $p\geqslant 2a\sqrt{xy+yz+zx}\sqrt{\dfrac{p(y+z)-a^2(xy+yz+xz)}{(y+z)^2}}$

$$\Leftarrow p^2\geqslant 4a^2(xy+yz+zx)\dfrac{p(y+z)-a^2(xy+yz+xz)}{(y+z)^2}$$

$$\Leftarrow p^2-\dfrac{4a^2(xy+yz+xz)}{y+z}p+\dfrac{4a^4(xy+yz+xz)^2}{(y+z)^2}\geqslant0$$

$$\Leftarrow (p-\dfrac{2a^2(xy+yz+zx)}{y+z})^2\geqslant0$$

这是显然成立的,从而命题得证。

面积取得最值的时候似乎要满足 $p=\dfrac{2a^2(xy+yz+zx)}{y+z}$

思路二

求偏导,对于式中的 $S$ 用海伦公式代入,该思路由QY大仙提供。个人认为 $S$ 用三斜求积术的公式代入要稍微好一点,不过计算量依然很大。


2019-05-29 17:38:01 in 数学